Kaprekar était un mathématicien indien contemporain (1905-1988). Il a défini les fonctions K(b,p) où b et p sont entiers ainsi :
Pour tout entier n, on décompose n dans la base b, on rajoute éventuellement des 0 pour avoir p chiffres. Puis on trie les chiffres de n dans l'ordre croissant pour obtenir nmin et dans l'ordre décroissant pour obtenir nmax. On calcule nmax-nmin, le résultat est K(b,p) (n).
Or parmi ces fonctions, l'une d'elles a une propriété intéressante, il s'agit de K(10,4) : pour tout n, si n ne s'écrit pas avec 4 chiffres égaux, alors les itérations K^k(n) tendent vers 6174. Nous allons démontrer cela en créant un programme qui va tester presque tous les entiers et vérifier la propriété.

1) Expliquez pourquoi les nombres s'écrivant avec 4 chiffres identiques (0000, 1111, ..., 9999) font exception à la règle.
Pour les nombres de la forme aaaa, on a nmin = nmax = aaaa, donc K(10,4) (aaaa) = 0. Or K(10,4) (0) = 0 donc pour les entiers aaaa, la suite vaut 0 dès la première itération.

2) Parmi les autres nombres, on va en fait pouvoir en exclure certains.
a) Expliquez pourquoi on peut se contenter des multiples de 9.
Solution

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